## 马尔可夫不等式:多项式能有多大的摆动?
马尔可夫不等式解决了一个基本问题:给定一个被限制在盒子内的多项式,它的导数有多大? 不等式指出,对于映射到单位正方形的 *n* 次多项式,其最大导数受 *n²* 限制。 简单的幂函数无法达到这个界限,但像切比雪夫多项式这样的“更摆动”的多项式*可以*达到这个界限,证明了它的潜在紧致性。
一个推广,马尔可夫兄弟不等式,将其扩展到更高阶的导数。 这个不等式具有实际应用,尤其是在证明*多项式不可近似性*方面——确定近似一个函数到特定精度的所需最小多项式次数。
例如,要在较大的区间内将函数 *f(x)* 近似到 0.1 的误差范围内,需要至少 10 次多项式。 这种技术不仅适用于 *f(x)*,也适用于 *sin(x)* 和 *arctan(x)* 等函数。 有趣的是,马尔可夫不等式为*任何*近似提供了一个次数阈值,无论函数的平滑度如何,而是关注函数在小区间内的变化程度。
## 将艺术转化为生意:摘要
本文反思了作者从业余艺术家到年收入六位数艺术品卖家的历程,为有抱负的专业人士提供建议。核心观点是:**大多数艺术家不应该*试图*靠艺术谋生。** 将爱好变成职业会引入不必要的任务——营销、行政管理——这些可能会扼杀创造力和乐趣。
然而,如果追求专业道路,作者强调将艺术视为**生意**的重要性,而不仅仅是自我表达。这意味着理解任何生意中的“控制旋钮”——产品、销售、营销、品牌——并将其调整到艺术领域。至关重要的是,成功不是迎合市场,而是找到**产品市场匹配**——创作人们真正想要的艺术品,通过实验发现,而不是预先设想。
作者提倡**重复和品牌建设**,通过一致的风格或形象(如他们标志性的蜂蜜熊)建立认知度,并探索“相邻熟悉”的领域以保持作品的新鲜感。 成功会激发热情,而不是相反。 最后,作者鼓励艺术家将他们的作品视为持续的“美学研究”,并在建立坚实基础后,不要害怕探索多种途径。最终目标是利用商业原则来*促进*更多的艺术创作,而不是削弱它。
## 全息图 v0.7.0:Elixir 在浏览器上的重大飞跃
全息图 v0.7.0 是将 Elixir 带到浏览器上的一个重要里程碑,Erlang 运行时覆盖率从 34% 跃升至 96%,Elixir 标准库准备就绪度从 74% 提升至 87%。本次发布是近 3 个月工作和超过 700 次提交的结果,移植了 150 个新的 Erlang 函数,完成了 238 个 Phase 1 函数中的 228 个。
这种扩展的覆盖范围解锁了大量 Elixir 标准库函数,可用于客户端使用,包括字符串处理、集合、集合、二进制操作、Unicode 处理、数学和文件路径操作。虽然与进程相关的模块已推迟到 Phase 2,但现在已经提供了构建全栈 Web 和基本本地优先应用程序所需的大部分功能。
除了移植之外,v0.7.0 还引入了更快的编译速度、跨平台设置、NixOS 兼容性以及与存储、不可变性、模板插值等相关的错误修复。本次发布还为未来的功能奠定了基础,例如客户端 ERTS 和改进的 ETS 基础设施。
衷心感谢 49 位贡献者,尤其是 @mward-sudo,感谢他们的奉献。 这项进展得益于 Curiosum 和 Erlang 生态系统基金会的赞助,以及慷慨的 GitHub 赞助者。