## 高效GCD计算:总结
本文详细介绍了GCD(最大公约数)算法的推导和优化,旨在提高其速度,超越标准C++库的`std::gcd`。欧几里得算法是基础,它递归地使用`gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)`的原理来寻找GCD。虽然简单,但除法运算(`a mod b`)在计算上代价高昂。
为了解决这个问题,本文探讨了二进制GCD算法,起源于古代中国,它依赖于移位、比较和减法——这些运算比除法更快。最初的实现虽然在理论上是高效的,但由于过多的分支而导致性能下降。
通过优化——利用`__builtin_ctz`(计算尾随零)有效地处理2的幂,预处理公因子,以及重构循环以最小化分支——实现了一个显著更快的版本。最终优化的版本运行时间约为91纳秒,几乎是`std::gcd`(198ns)的两倍,通过简化汇编代码并缩短关键路径长度来实现。这项优化受到Daniel Lemire和Ralph Corderoy的工作启发。